Teoria dei segnali2/Campionamento

Template:Teoria dei segnali2 Un segnale analogico è più facile da elaborare se viene campionato in un segnale numerico, cioè tempo discreto e discreto in ampiezza. Come campionare un segnale tempo-continuo senza perdere informazione?

Teorema del campionamento (o di Nyquist-Shannon)

Un segnale tempo-continuo può essere campionato e perfettamente ricostruito a partire dai suoi campioni se la frequenza di campionamento $f_c$ è maggiore del doppio della banda $B$ del segnale:

$f_c\triangleq \frac{1}{T_c}>2B$

con la condizione che la banda $B$ sia limitata.

Il teorema del campionamento garantisce che il segnale campionato può essere ricostruito perfettamente tramite un filtro interpolatore (ricostruttore), e che il segnale ricostruito coinciderà con il segnale tempo-continuo di partenza.

Filtro anti-aliasing

La maggioranza dei segnali utilizzati nella realtà ha banda illimitata: esiste un intervallo al di fuori del quale il segnale è significativamente vicino a zero, ma non è mai identicamente nullo. Il segnale campionato quindi presenterà nel dominio della frequenza delle sovrapposizioni degli spettri che alla fine non possono essere ricostruite dal filtro interpolatore. Il filtro anti-aliasing serve per eliminare le parti ad alta frequenza prima del campionamento:

$\mathrm{A}\mathrm{A}\left(f\right)\{\begin{array}{cc}=0& \left|f\right|>B_{\mathrm{A}\mathrm{A}}\\ \ne 0& \text{altrove}\end{array}$

con $B_x<B_{\mathrm{A}\mathrm{A}}<\frac{f_c}{2}$. La distorsione del filtro anti-aliasing non è ugualmente rimediabile, ma è comunque preferibile rispetto all'effetto di aliasing (o sovrapposizione).

Campionatori reali

Il campionatore ideale (treno di delta):

$x^{\prime }\left(t\right)=x\left(t\right)*\delta (-t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\delta (t-n{T}_c)x\left(t\right)$

è impossibile da realizzare nella realtà, perché la delta $\delta \left(t\right)$ è un impulso con ampiezza illimitata e supporto infinitesimo → si utilizza un impulso $h\left(t\right)$ il più possibile simile alla delta, cioè con ampiezza molto grande e supporto molto piccolo:

$x^{\prime }\left(t\right)=x\left(t\right)*h(-t)\Rightarrow x^{\prime }\left(n{T}_c\right)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}h(\tau -n{T}_c)x\left(\tau \right)d\tau$

Interpolatori

Condizioni ideali

Un segnale campionato:

$\{\begin{array}{c}{x}_c\left(t\right)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x\left(n{T}_c\right)\delta (t-n{T}_c)\\ X_c\left(f\right)=\frac{1}{T_c}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}X(f-\frac{n}{T_c})\end{array}$

può essere ricostruito tramite un filtro passa-basso ideale, detto filtro ricostruttore ottimo $K\left(f\right)$:

$x\left(t\right)=x_c\left(t\right)*K\left(t\right)=\left[\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x\left(n{T}_c\right)\delta (t-n{T}_c)\right]*K\left(t\right)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x\left(n{T}_c\right)K(t-n{T}_c),K\left(f\right)=\{\begin{array}{cc}{T}_c& \left|f\right|<B\\ \text{qualsiasi valore}& B<\left|f\right|<f_c-B\\ 0& \left|f\right|>f_c-B\end{array}$

Il filtro ricostruttore ottimo $K\left(f\right)$ deve essere:

• non distorcente nella banda del segnale (piatto);
• nullo al di fuori della banda del segnale per eliminare le componenti ad alta frequenza.

Esempi di interpolatori distorcenti

Costante a tratti

Il segnale viene approssimato a una serie di rettangoli:

$\{\begin{array}{c}K\left(t\right)={\mathrm{\Pi }}_{T_c}\left(t\right)\\ K\left(f\right)=T_c\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\left(f{T}_c\right)\end{array}$

Lineare

Il segnale viene approssimato a una serie di trapezi:

$\{\begin{array}{c}K\left(t\right)={\mathrm{\Lambda }}_{T_c}\left(t\right)\\ K\left(f\right)=T_c{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}}^2\left(f{t}_c\right)\end{array}$

Esempi di interpolatori non distorcenti

Funzione sinc

Il filtro interpolatore ideale è il seguente:

$\{\begin{array}{c}K\left(t\right)=B{T}_c\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\left(tB\right)\\ K\left(f\right)=T_c{\mathrm{\Pi }}_B\left(f\right)\end{array}$

perché il segnale viene ricostruito da una sommatoria di infinite funzioni sinc, dove per ogni $n$ esiste una sinc che assume esattamente il valore del campione $n$-esimo all'istante $n{T}_c$ e un valore nullo in tutti gli altri istanti di campionamento:

$x\left(t\right)=B{T}_c\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x\left(n{T}_c\right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\left(B(t-n{T}_c)\right)$

Tuttavia nei punti intermedi agli istanti di campionamento il segnale $x\left(t\right)$ è dato dalla somma dei contributi di infinite funzioni sinc:

Coseno rialzato

$K\left(t\right)=N{T}_c\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\left(Bt\right)\cdot \frac{\cos \alpha B\pi t}{1-{\alpha Bt}^2}$

Condizioni:

• roll-off $\alpha$: $0<\alpha <1$ (se $\alpha =0$ diventa la funzione sinc)
• $\frac{B}{2}(1-\alpha )>B_x$
• $\frac{B}{2}(1+\alpha )<f_c-B_x$

Condizioni reali

Il filtro ricostruttore può integrare anche un filtro equalizzatore che rimedi agli effetti del filtro anti-aliasing e alle distorsioni provocate da un campionatore reale:

$K\left(f\right)=\{\begin{array}{cc}\frac{T_c}{\mathrm{A}\mathrm{A}\left(f\right)H\left(f\right)}& \left|f\right|<B_{\mathrm{A}\mathrm{A}}\\ 0& \left|f\right|>f_c-B_{\mathrm{A}\mathrm{A}}\end{array}$

a patto che $H\left(f\right)$, cioè la trasformata di Fourier dell'impulso campionatore $h\left(t\right)$, non cancelli definitivamente qualche frequenza compresa nella banda $B_{\mathrm{A}\mathrm{A}}$ del filtro anti-aliasing:

$H\left(f\right)\ne 0\mathrm{\forall }\left|f\right|<B_{\mathrm{A}\mathrm{A}}$