Teoria dei segnali2/Stazionarietà

Stazionarietà

Un processo è stazionario se la traslazione di una sua realizzazione, per un qualsiasi intervallo di tempo, produce un'altra sua possibile realizzazione, e se tutte queste realizzazioni hanno la stessa probabilità:

$\text{se }x\left(t\right)\in 𝒫\Rightarrow \{\begin{array}{c}x(t-t_0)\in 𝒫\\ P\left(x\left(t\right)\right)=P\left(x(t-t_0)\right)\end{array}\mathrm{\forall }{t}_0$

Esempi

• processi stazionari: sinusoide con fase variabile casuale, rumore termico
• processi non stazionari: segnale numerico, segnale sample & hold, sinusoide con ampiezza variabile casuale, segnale determinato

Stazionarietà in senso stretto

Siccome per la densità di probabilità congiunta $f_{𝐗}$ vale:

$f_{𝐗}(x_1,\dots ,x_n;t_1,\dots ,t_n)=f_{𝐗}(x_1,\dots ,x_n;t_1+t_0,\dots ,t_n+t_0)\mathrm{\forall }{t}_0$

si può far coincidere il primo istante di tempo con l'origine ($t_0=-t_1$) eliminando una variabile temporale → le statistiche di ordine $n$ dipendono da $n-1$ variabili, che rappresentano la differenza di tempo rispetto al primo campione, che si può sempre assumere nell'origine. Ad esempio, per un processo stazionario in senso stretto di ordine $n$ vale:

$\begin{array}{c}{f}_{X_1}(x_1;t_1)=f_{X_1}(x_1;t_1-t_1)=f_{X_1}(x_1;0)\\ f_{𝐗}(x_1,x_2;t_1,t_2)=f_{𝐗}(x_1,x_2;0,t_2-t_1)=f_{𝐗}(x_1,x_2;0,\tau )\\ ⋮\\ f_{𝐗}(x_1,\dots ,x_n;t_1,\dots ,t_n)=f_{𝐗}(x_1,\dots ,x_n;{\tau }_1,\dots ,{\tau }_{n-1})\end{array}$

Stazionarietà in senso lato (Template:Tooltip)

• Se il processo è stazionario in senso stretto di ordine 1, la media $m_X\left(t\right)$ è una costante e non dipende dal tempo:

$m_X\left(t\right)=m_X$

• Se il processo è stazionario in senso stretto di ordine 2, la funzione di autocorrelazione $R_X(t_1,t_2)$ dipende solo dalla differenza $\tau =t_2-t_1$:

$R_X(t_1,t_2)=R_X\left(\tau \right)=E\left[X\left(t\right)X^{*}(t+\tau )\right]$

Un processo è stazionario in senso lato se la media $m_X\left(t\right)$ è una costante, e la funzione di autocorrelazione $R_X(t_1,t_2)$ dipende solo da $\tau$:

$\{\begin{array}{c}{m}_X\left(t\right)=m_X\\ R_X(t_1,t_2)=R_X\left(\tau \right)\end{array}$

La stazionarietà in senso lato non implica la stazionarietà in senso stretto.

Ciclostazionarietà

Un processo è ciclostazionario se la traslazione di una sua realizzazione, per multipli di una costante finita $T$ detta periodo di stazionarietà, produce un'altra sua possibile realizzazione, e se tutte queste realizzazioni hanno la stessa probabilità:

$\mathrm{\exists }T:\text{se }x\left(t\right)\in 𝒫\Rightarrow \{\begin{array}{c}x(t-iT)\in 𝒫\\ P\left(x\left(t\right)\right)=P\left(x(t-iT)\right)\end{array}\mathrm{\forall }i\in \mathbb{Z}$

Esempi

• processi ciclostazionari: segnale numerico, segnale sample & hold, sinusoide con ampiezza variabile casuale, segnale determinato periodico, processi stazionari
• processi non ciclostazionari: segnale determinato non periodico

Ciclostazionarietà in senso stretto

Un processo è ciclostazionario in senso stretto se la densità di probabilità congiunta $f_{𝐗}$ è periodica di periodo $T$:

$f_{𝐗}(x_1,\dots ,x_n;t_1,\dots ,t_n)=f_{𝐗}(x_1,\dots ,x_n;t_1-iT,\dots ,t_n-iT)\mathrm{\forall }i\in \mathbb{Z}$

Ciclostazionarietà in senso lato

Un processo è ciclostazionario in senso lato se la media $m_X\left(t\right)$ è periodica, e la funzione di autocorrelazione $R_X(t_1,t_2)$ è periodica rispetto a $t_1$ e $t_2$:

$\{\begin{array}{c}{m}_X\left(t\right)=m_X(t-iT)\\ R_X(t_1,t_2)=R_X(t_1-T,t_2-iT)\end{array}\mathrm{\forall }i\in \mathbb{Z}$

Stazionarizzazione

La stazionarietà implica la ciclostazionarietà, ma non viceversa → l'operazione di stazionarizzazione serve per trasformare un processo ciclostazionario in un processo stazionario: si aggiungono tutte le replice mancanti all'interno del periodo di ciclostazionarietà $T$, tramite la nuova variabile casuale $\theta$ che corrisponde al ritardo casuale uniforme. Questa operazione modifica il processo stesso e può essere fatta solo se ha senso nel sistema considerato: tipicamente si può fare se il sistema che lo processa è stazionario (tempo invariante).