Termodinamica classica/Equazione di Clausius-Clapeyron

Ricordate le transizioni di fase? Nel piano $(p,T)$ era possibile rappresentarle, ottenendo un andamento simile (che varia da sostanza a sostanza) a quello nell'immagine seguente.

In blu il tratto di curva che vogliamo integrare

L'equazione di Clausius-Clapeyron descrive la variazione di pressione in funzione della temperatura durante una transizione di fase, ovvero è una funzione $p(T)$ il cui grafico è la curva di coesistenza che si può vedere nel piano. Per poterla ricavare, consideriamo il ciclo nel piano $(p,V)$.

Quando $dp\to 0$, il ciclo tende a un ciclo di Carnot (in approssimazione). Definito il calore durante la transizione come $Q=M\lambda$, possiamo sfruttare il rendimento del ciclo:

$\begin{array}{cc}& \frac{L}{Q_{\text{ass}}}=\eta =1-\frac{T_f}{T_c}\\ & \frac{dp\mathrm{\Delta }V}{M\lambda }=1-\frac{T-dT}{T}\\ & \frac{dp(V_g-V_l)}{M{\lambda }_{\text{evap}}}=\frac{dT}{T}\end{array}$

dove $V_g$ e $V_l$ sono i volumi saturi allo stato gassoso e liquido, perché abbiamo considerato la transizione liquido-gas. Dall'ultima espressione ricaviamo direttamente l'equazione di Clausius-Clapeyron:

$\frac{dp}{dT}=\frac{M{\lambda }_{evap}}{T(V_g-V_l)}$

Possiamo anche integrarla per ottenere una funzione esplicita di $p$, indicata con $\bar{M}=\frac{M}{n}$ la massa molare della sostanza. Se consideriamo il fatto che $V_g>>V_l$, possiamo approssimare $(V_g-V_l)\approx V_g$ e sostituire al posto di $V_g$ la sua espressione secondo la legge di stato dei gas, ottenendo:

$\frac{dp}{dT}=\frac{M{\lambda }_{evap}}{T\cdot V_g}=\frac{\bar{M}{\lambda }_{evap}p}{R{T}^2}$

Integrando:

$\begin{array}{cc}& \underset{p_0}{\overset{p}{\int }}\frac{dp}{p}=\underset{T_0}{\overset{T}{\int }}\frac{\bar{M}{\lambda }_{evap}}{R}\frac{dT}{T^2}\\ & \log \frac{p}{p_0}=-\frac{\bar{M}{\lambda }_{evap}}{R}(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_0})\\ & p=p_0\cdot e^{-\frac{\bar{M}{\lambda }_{evap}}{R}(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_0})}\end{array}$

Questa formula vale per il passaggio liquido-gas con due approssimazioni: la sostanza è approssimata a un gas perfetto e abbiamo considerato $V_g>>V_l$.