Fisica classica/Campi elettrici

Campo

In fisica, un campo è una quantità che può assumere valori diversi nello spazio. Un campo è classificato come campo scalare, vettoriale o tensoriale a seconda se il valore del campo in ogni punto è uno scalare, un vettore o un tensore.

Un esempio di campo scalare è la temperatura che è una grandezza scalare che può essere misurata in ogni punto dello spazio. Dal punto di vista algebrico tale fatto si traduce in coordinate cartesiane che possiamo definire nei vari punti dello spazio una $T(x,y,z)$ che rappresenta la temperatura nel punto generico $(x,y,z)$.

Un esempio di campo vettoriale è la velocità delle particelle che compongono un fluido che viene trascinato lungo una tubatura. Dal punto di vista algebrico tale fatto si traduce in coordinate cartesiane che possiamo definire nei vari punti dello spazio una $\overrightarrow{v}(x,y,z)$ che la velocità del fluido nel punto generico $(x,y,z)$.

Definizione di campo elettrico

Immaginiamo di avere una distribuzione di cariche nello spazio e una $q_0$ la carica elettrica di prova (tanto piccola da non modificare la distribuzione della cariche che intendiamo studiare. In un generico punto dello spazio $\overrightarrow{r}$ su tale carica agirà una $\overrightarrow{F}$ la forza coulombiana .

Possiamo definire un campo vettoriale $\overrightarrow{E}$ detto campo elettrico:

$\overrightarrow{E}(\overrightarrow{r})=\underset{q_0\to 0}{\lim }\frac{\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})}{q_0}$

tenendo presente che il limite non è da intendere in senso classico della matematica (poiché la carica è quantizzata e quindi non può essere fisicamente resa piccola a piacere) bensì il limite indica che la carica $q_0$ deve essere abbastanza piccola rispetto alle cariche che generano il campo, in maniera da non modificare la distribuzione di carica.

La forza di interazione elettrostatica è una forza centrale a simmetria sferica e quindi è una forza conservativa. Cioè il lavoro fatto dalla forza elettrica non dipende dal percorso lungo il quale è stato calcolato, ma solo dagli estremi del percorso. Il campo elettrico ha le dimensioni di una forza diviso una carica elettrica, estendendo il concetto di conservatività dalle forze ai campi si può affermare che il campo elettrostatico è conservativo, cioè ammette l'esistenza di un campo scalare detto potenziale elettrico definito in maniera univoca a meno di una costante arbitraria, che vedremo nel seguito.

Le dimensioni fisiche del campo elettrico sono quelle di una forza divisa una carica. L'unità di misura è nel Sistema Internazionale il Newton per Coulomb ($N/C$) o più propriamente equivalentemente il Volt per metro ($V/m$). Il Volt (simbolo V) verrà introdotto nel seguito.

Dal punto di vista del mondo fisico in realtà si ha che le forze tra oggetti distanti vengono mediate dai campi. Concettualmente la differenza è fondamentale, infatti mentre alla azione a distanza tra due oggetti non possiamo associare un tempo caratteristico di propagazione, il campo originato da una carica si propaga con una velocità caratteristica del campo stesso. Nel caso del campo elettrico nel vuoto tale velocità è quella della luce, per cui nella maggior parte dei casi, essendo molto elevata, rispetto alle velocità che sperimentiamo nel mondo macroscopico, appare praticamente infinita. Ma nei fenomeni elettrici variabili nel tempo la velocità della luce gioca un ruolo importante per la comprensione dell'elettromagnetismo. Oltre al ruolo concettualmente essenziale del campo, la sua introduzione permette di studiare in maniera più semplice l'elettrostatica. Infatti la presenza di cariche di due segni presenta una ovvia difficoltà nel trattare la distribuzione generale di molte cariche.

Campo Elettrico generato da una carica puntiforme

Consideriamo il caso di una carica puntiforme $q$ posta nell'origine delle coordinate ed un carica $q_o$ posta nel punto $P$ a distanza $r$ dall'origine.

Con la legge di Coulomb possiamo scrivere:

$\overrightarrow{F}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{q_{0}q}{r^2}\widehat{u_n}$

dove $\widehat{u_n}$ è il versore del raggio. In questo semplice caso, dalla definizione data di campo elettrico segue che:

$\overrightarrow{E}(\overrightarrow{r})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{q}{r^2}\widehat{u_n}$

Se la carica $q$ fosse stata non nell'origine, ma nel punto $P^{\prime }$ di coordinate $r^{\prime }$ semplicemente l'espressione del campo cambierebbe in:

$\overrightarrow{E}(\overrightarrow{r})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{q}{|\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r^{\prime }}{|}^3}(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r^{\prime }})$

Avendo indicato con $\widehat{u_n}=\frac{\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r^{\prime }}}{|\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r^{\prime }}|}$ il versore che identifica la distanza tra $\overrightarrow{r^{\prime }}$ ed $\overrightarrow{r}$.

Rappresentazione mediante linee di campo

Linee di flusso prodotto da una carica positiva nello spazio

Linee di flusso entranti per il campo elettrico prodotto da una carica negativa nello spazio

Per rappresentare i campi elettrici spesso si usa una utile rappresentazione grafica mediante le cosiddette linee del campo. In tale rappresentazione la tangente alla linea determina la direzione del campo. Quindi esce dalle cariche positive che sono quindi sorgenti del campo (come mostrato nella figura a sinistra) ed entra nelle cariche negative che si considerano dei pozzi (come mostrato nella figura a destra). La densità delle linee è una misura dell'intensità del campo stesso. Quindi nell'esempio mostrato vicino alle sorgenti o pozzi del campo vi un maggior numero di linee per unità di superficie, rispetto alle zone lontane dove il campo si attenua. La rappresentazione è utile per mostrare graficamente il campo elettrico e sarà usata nel seguito.

Espressione del campo in coordinate cartesiane

La rappresentazione in coordinate cartesiane permette di calcolare in maniera analitica il problema. Viene fatto il calcolo esplicito per mostrare l'utilità della formula compatta appena indicata.

Sia $P=(x_0,y_0,z_0)$ il punto in cui risiede la carica che genera il campo elettrico. Il punto dove calcoliamo un campo ha coordinate$P=(x,y,z)$.

Il versore $\widehat{u_n}$ ha componenti: $\widehat{u_n}=(\frac{x-x_0}{|\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r^{\prime }}|},\frac{y-y_0}{|\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r^{\prime }}|},\frac{z-z_0}{|\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r^{\prime }}|})$. Una volta ottenute le componenti del versore possiamo scomporre il campo in componenti lungo gli assi:

$E_x=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{q(x-x_0)}{{\{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2\}}^{\frac{3}{2}}}$

$E_y=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{q(y-y_0)}{{\{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2\}}^{\frac{3}{2}}}$

$E_z=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{q(z-z_0)}{{\{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2\}}^{\frac{3}{2}}}$

Questa è l'espressione esplicita del campo elettrostatico generato dalla carica $q$ posta nel punto di coordinate $r^{\prime }$ nel punto di coordinate $r$.

Se invece di avere una singola carica avessimo più cariche il campo elettrico è semplicemente pari alla somma dei campi generati dalle singole cariche. Tale proprietà è dovuta al principio di sovrapposizione delle forze elettriche.

Distribuzione discreta di carica

Campo elettrico prodotto da due cariche negative

Nel caso di n cariche disposte nello spazio il principio di sovrapposizione si traduce dal punto di vista matematico, nell'espressione:

$\overrightarrow{E}(\overrightarrow{r})=\sum _{i=1}^n\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{q_i}{|\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r_i}{|}^3}(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r_i})$

Dove indichiamo con $q_i$ la i-esima carica della distribuzione con posizione $\overrightarrow{r_i}=(x_i,y_i,z_i)$

In modo del tutto analogo scriviamo le componenti del campo:

$E_x=\sum _{i=1}^n\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{q_i(x-x_i)}{{\{(x-x_i{)}^2+(y-y_i{)}^2+(z-z_i{)}^2\}}^{\frac{3}{2}}}$

$E_y=\sum _{i=1}^n\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{q_i(y-y_i)}{{\{(x-x_i{)}^2+(y-y_i{)}^2+(z-z_i{)}^2\}}^{\frac{3}{2}}}$

$E_z=\sum _{i=1}^n\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{q_i(z-z_i)}{{\{(x-x_i{)}^2+(y-y_i{)}^2+(z-z_i{)}^2\}}^{\frac{3}{2}}}$

Un semplice dipolo

Due cariche puntiformi di pari valore, ma di segno opposto, sono poste lungo l'asse x (come in figura) in posizione simmetrica rispetto all'origine a distanza d tra di loro. Calcolare l'intensità del campo elettrico in un punto generico sull'asse delle y (linea verticale della figura).

Le coordinate del punto in cui si vuole calcolare il campo sono: $\overrightarrow{r}=(0,y,0)$, la carica $Q$ è in ${\overrightarrow{r}}_1(d,0,0)$, la carica $-Q$ è in ${\overrightarrow{r}}_2=(-d,0,0)$. Segue la distanza delle due cariche dal punto P vale:

$A=|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}_1|=|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}_2|=\sqrt{y^2+d^2}$

Quindi le tre componenti campo elettrico generato

$E_x=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o{A}^3}[Q(-d)+(-Q)(d)]=-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o{A}^3}2Qd$

$E_y=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o{A}^3}(Qy-Qy)=0$

$E_z=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o{A}^3}[(Q)0+(-Q)0]=0$

$E_x=-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{2Qd}{(y^2+d^2{)}^{3/2}}$

per $y\ll d$ (cioè al centro tra le due cariche) si ha che:

$E_x\approx -\frac{2Q}{4\pi {\epsilon }_o{d}^2}$

mentre per $y\gg d$ (cioè a grande distanza dal dipolo) :

$E_x\approx -\frac{2Qd}{4\pi {\epsilon }_o{y}^3}$

quindi il campo diminuisce con il cubo della distanza dal dipolo (le linee del campo sono indicate nella figura).

Esercizi utili

Campo generato da quattro cariche eguali sui vertici di un quadrato, Il campo di un quadrupolo ed anche il campo elettrico di otto cariche elettriche poste sui vertici di un cubo.

Distribuzione continua di carica

Fino ad adesso abbiamo trattato casi in cui riuscivamo a contare le particelle cariche. Ma nelle esperienze pratiche si deve tenere conto che il numero di particelle è molto elevato e si ha a che fare con distribuzioni di cariche che possono essere meglio identificate come un continuo.

Le distribuzioni continue possono essere su fili (lineari), su superfici (caso comune nei conduttori) o in genere in volumi (caso comune negli isolanti).

Distribuzione lineare

Il caso più semplice è quello lineare.

Consideriamo un filo carico come in figura di lunghezza $L$, il generico elemento infinitesimo $d\ell$ avrà una carica infinitesima $dq$. Possiamo quindi introdurre una nuova grandezza fisica la densità lineare di carica, definita come :

$\lambda (\ell )=\frac{dq}{d\ell }$

Che nel caso generale è una funzione del punto della linea dove è calcolata. Tale elemento che si trova nella posizione dello spazio $\overrightarrow{r_{\ell }}$ dista da un generico punto dello spazio identificato dal vettore $\overrightarrow{r}$: $|\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r_{\ell }}|$.

Quindi genera un campo infinitesimo:

$\overrightarrow{dE(\overrightarrow{r})}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{dq}{|\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r_{\ell }}{|}^3}(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r_{\ell }})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{\lambda (\ell )d\ell }{|\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r_{\ell }}{|}^3}(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r_{\ell }})$

Di conseguenza tutta la linea genera un campo:

$\overrightarrow{E(\overrightarrow{r})}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\underset{L}{\int }\frac{\lambda (\ell )}{|\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r_{\ell }}{|}^3}(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r_{\ell }})d\ell$

Gli esercizi suggeriti sono: sbarretta isolata, due sbarrette allineate, due sbarrette perpendicolari e un anello carico.

Distribuzione superficiale

Il secondo caso generale è quello di una superficie $S$ e di un suo generico elemento infinitesimo $dS$ avrà una carica infinitesima $dq$. Possiamo quindi introdurre una nuova grandezza fisica la densità superficiale di carica, definita come :

$\sigma =\frac{dq}{dS}$

Che nel caso generale è una funzione del punto della superficie dove è calcolata. Tale elemento che si trova nella posizione dello spazio $\overrightarrow{r_S}$ dista da un generico punto dello spazio identificato dal vettore $\overrightarrow{r}$: $|\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r_S}|$. Di conseguenza con un ragionamento simile a quello fatto per una linea, il campo generato varrà:

$\overrightarrow{E(\overrightarrow{r})}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\underset{S}{\int }\frac{{\sigma }_{S^{\prime }}}{|\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r_{S^{\prime }}}{|}^3}(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r_{S^{\prime }}})d{S}^{\prime }$

L'integrale è un integrale di superficie.

La distribuzione superficiale viene esaminata in un caso: un disco isolante.

Distribuzione volumetrica

Il caso più complesso è quando la carica è distribuita su un volume $T$ e di un suo generico elemento infinitesimo $d\tau$ avrà una carica infinitesima $dq$. Possiamo quindi introdurre una nuova grandezza fisica la densità volumetrica di carica, definita come :

$\rho =\frac{dq}{d\tau }$

E identifichiamo la posizione dello spazio in cui si trova con il vettore $\overrightarrow{r^{\prime }}$.

Supponiamo di voler misurare il campo in un generico punto dello spazio identificato dal vettore $\overrightarrow{r}$. Abbiamo che il campo totale generato dalla distribuzione di carica sarà (con ragionamenti analoghi):

$\overrightarrow{E}(\overrightarrow{r})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\underset{T}{\int }\frac{\rho }{|\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r^{\prime }}{|}^3}(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r^{\prime }})d{\tau }^{\prime }$

Analogamente alla distribuzione discreta possiamo ottenere le componenti del campo:

$E_x=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\underset{\tau }{\iiint }\frac{\rho (x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })(x-x^{\prime })d{x}^{\prime }d{y}^{\prime }d{z}^{\prime }}{{\{(x-x^{\prime }{)}^2+(y-y^{\prime }{)}^2+(z-z^{\prime }{)}^2\}}^{\frac{3}{2}}}$

$E_y=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\underset{\tau }{\iiint }\frac{\rho (x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })(y-y^{\prime })d{x}^{\prime }d{y}^{\prime }d{z}^{\prime }}{{\{(x-x^{\prime }{)}^2+(y-y^{\prime }{)}^2+(z-z^{\prime }{)}^2\}}^{\frac{3}{2}}}$

$E_z=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\underset{\tau }{\iiint }\frac{\rho (x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })(z-z^{\prime })d{x}^{\prime }d{y}^{\prime }d{z}^{\prime }}{{\{(x-x^{\prime }{)}^2+(y-y^{\prime }{)}^2+(z-z^{\prime }{)}^2\}}^{\frac{3}{2}}}$

La distribuzione volumetrica è difficile da affrontare in maniera analitica, ma, in molti casi, la legge di Gauss che viene descritta nel capitolo seguente è di grande aiuto.

Argomento seguente: La legge di Gauss