Teoria dei segnali2/Medie temporali ed ergodicità

Template:Teoria dei segnali2 Se il processo è ergodico, è sufficiente una sua qualunque realizzazione per estrarne le statistiche. Il sistema che genera il processo può evolvere attraverso tutti i suoi possibili stati partendo da una qualsiasi condizione iniziale.

Media

Media d'insieme di un processo casuale

Dato un processo casuale $X\left(t\right)$ ed una qualsiasi funzione $g$, la media d'insieme:

$E\left[g\left(X\left(t\right)\right)\right]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}g\left(x\left(t\right)\right)f_X\left(x\left(t\right)\right)dx$

su un insieme "discreto" di realizzazioni si può interpretare come la media pesata delle realizzazioni del processo $X\left(t\right)$, e a differenza della media temporale restituisce un valore dipendente dal tempo:

$E\left[g\left(X\left(t\right)\right)\right]=\sum _{{}_i}g\left[x(t;s_i)\right]P\left[x(t;s_i)\right]$

Media temporale

Media temporale di un segnale determinato

Dato un segnale determinato $x\left(t\right)$ ed una qualsiasi funzione $g$, l'operatore di media temporale è definito:

$⟨g\left[x\left(t\right)\right]⟩\triangleq \underset{T\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{T}\underset{-\frac{T}{2}}{\overset{+\frac{T}{2}}{\int }}g\left[x\left(t\right)\right]dt$

Valor medio

$\bar{x}=\underset{T\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{T}\underset{-\frac{T}{2}}{\overset{+\frac{T}{2}}{\int }}x\left(t\right)dt=⟨x\left(t\right)⟩$

Potenza media

$P\left(x\right)=\underset{T\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{T}\underset{-\frac{T}{2}}{\overset{+\frac{T}{2}}{\int }}{\left|x\left(t\right)\right|}^{2}dt=⟨{\left|x\left(t\right)\right|}^2⟩$

Media temporale di più segnali determinati

La media temporale di una funzione $g$ di $n$ segnali $x_1,x_2,\dots ,x_n$, valutati a istanti di tempo anche differenti, è una funzione di $n-1$ variabili ${\tau }_1,{\tau }_2,\dots ,{\tau }_{n-1}$ (la variabile $t$ viene integrata):

$⟨g[x_1\left(t\right),x_2(t+{\tau }_1),\dots ,x_n(t+{\tau }_{n-1})]⟩=\underset{T\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{T}\underset{-\frac{T}{2}}{\overset{+\frac{T}{2}}{\int }}g[x_1\left(t\right),x_2(t+{\tau }_1),\dots ,x_n(t+{\tau }_{n-1})]dt$

Media temporale di una realizzazione

Siccome una specifica realizzazione $g\left[x(t;s_0)\right]$ di un processo casuale $X\left(t\right)$ è un segnale determinato, anche ad esso è possibile applicare l'operatore di media temporale:

$⟨g\left[x(t;s_0)\right]⟩=\underset{T\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{T}\underset{-\frac{T}{2}}{\overset{+\frac{T}{2}}{\int }}g\left[x(t;s_0)\right]dt$

Il processo è stazionario per la sua media temporale se questa non dipende dalla realizzazione.

Esempio: Potenza

La media temporale è la potenza istantanea di una certa realizzazione:

$⟨g\left[x\left(t\right)\right]⟩=⟨{\left|x(t;s_0)\right|}^2⟩=\underset{T\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{T}\underset{-\frac{T}{2}}{\overset{\frac{T}{2}}{\int }}{\left|x(t;s_0)\right|}^{2}dt$

La media d'insieme è legata alla potenza media del processo:Template:Chiarire

${E\left[g\left(X\left(t\right)\right)\right]|}_{t=t_i}=E\left({\left|X\left(t_i\right)\right|}^2\right)$

Ergodicità per la media

Un processo $X\left(t\right)$ è ergodico per la media se la sua media d'insieme coincide con la media temporale di una sua qualsiasi realizzazione:

$E\left[g\left(X\left(t\right)\right)\right]=⟨g\left[x(t;s_i)\right]⟩\mathrm{\forall }i$

Nel caso di $g$ funzione identità, se l'autocovarianza $K_X\left(\tau \right)$ è modulo integrabile il processo $X\left(t\right)$ è ergodico per la media.

Ergodicità per la media e stazionarietà

• Il processo è stazionario per la sua media temporale se questa non dipende dalla realizzazione.
• Il processo è stazionario in senso stretto di ordine 1 se la sua media d'insieme è costante nel tempo.

L'ergodicità per la media implica la stazionarietà per la media, ma la stazionarietà per la media non implica l'ergodicità per la media.

Esempi

• se il processo $𝒫$ contiene tutte le traslazioni di un segnale $x\left(t\right)$, e tutte le traslazioni hanno la stessa probabilità, allora il processo è ergodico:

$𝒫=\left\{x(t+t_1)\mathrm{\forall }{t}_1\right\}$

• se il processo $𝒫$ contiene tutte le traslazioni di due segnali diversi $x\left(t\right)$ e $y\left(t\right)$, e tutte le traslazioni hanno la stessa probabilità, allora il processo non è ergodico perché una qualsiasi realizzazione può essere la traslazione o di $x\left(t\right)$ o di $y\left(t\right)$:

$𝒫=\{x(t+t_1),y(t+t_2)\mathrm{\forall }{t}_1,t_2\}$

• segnale vocale: non è ergodico perché una persona non può fisicamente generare tutti i segnali generabili da un qualunque essere umano;
• rumore termico a una temperatura data: è ergodico perché non dipende dalla resistenza scelta.

Autocorrelazione

Si ricorda che esistono due diverse definizioni per l'autocorrelazione a seconda se si parli di segnali determinati o di processi casuali:

• autocorrelazione per segnali determinati a potenza finita:

  ${\mathrm{\Phi }}_x\left(\tau \right)={ℱ}^{-1}\left\{G_x\left(f\right)\right\}=\underset{T\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{T}\underset{-\frac{T}{2}}{\overset{\frac{T}{2}}{\int }}x(t+\tau )x^{*}\left(t\right)dt=⟨x(t+\tau )x^{*}\left(t\right)⟩$

• autocorrelazione per processi casuali:

  $R_X\left(\tau \right)\triangleq E\left(X\left(t\right)X^{*}(t+\tau )\right)$

Ergodicità per l'autocorrelazione

Un processo $X\left(t\right)$ è ergodico per l'autocorrelazione se la sua autocorrelazione $R_X\left(\tau \right)$ coincide con l'autocorrelazione ${\mathrm{\Phi }}_x\left(\tau \right)$ di una sua qualsiasi realizzazione:

$R_X\left(\tau \right)={\mathrm{\Phi }}_x\left(\tau \right)\mathrm{\forall }i$

dove ${\mathrm{\Phi }}_x\left(\tau \right)$ è l'autocorrelazione della realizzazione $X(t;s_i)$:

${\mathrm{\Phi }}_x\left(\tau \right)=\underset{T\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{T}\underset{-\frac{T}{2}}{\overset{\frac{T}{2}}{\int }}X(t+\tau ;s_i)X^{*}(t;s_i)dt$

Se il processo $X\left(t\right)$ è ergodico per l'autocorrelazione, allora lo spettro di potenza $S_X\left(f\right)$ può essere valutato a partire da una sua qualsiasi realizzazione:

$S_X\left(f\right)\triangleq ℱ\left\{R_X\left(\tau \right)\right\}=G_x\left(f\right)=ℱ\left\{{\mathrm{\Phi }}_x\left(\tau \right)\right\}$

Ergodicità per l'autocorrelazione e stazionarietà

• Il processo è stazionario per la sua autocorrelazione ${\mathrm{\Phi }}_x\left(\tau \right)$ se questa non dipende dalla realizzazione.
• Il processo è stazionario in senso stretto di ordine 2 se la sua autocorrelazione $R_X\left(\tau \right)$ dipende solo da $\tau$.

L'ergodicità per l'autocorrelazione implica la stazionarietà per l'autocorrelazione, ma la stazionarietà per l'autocorrelazione non implica l'ergodicità per l'autocorrelazione.