Geometria per scuola elementare/Bisezione di un segmento

Introduzione

In questo capitolo impareremo come dividere un segmento in due (bisezione).

Dato un segmento $\overline{AB}$, lo divideremo in due segmenti uguali $\overline{AC}$ e $\overline{CB}$. La costruzione si ispira alla proposizione 10 del Libro I degli Elementi.

Costruzione

1. Costruisci un triangolo equilatero $\mathrm{△}ABD$ su $\overline{AB}$.
2. Dividi in due l'angolo $\mathrm{\angle }ADB$ usando il segmento $\overline{DE}$.
3. Chiamiamo C il punto di intersezione tra $\overline{DE}$ e $\overline{AB}$.

Affermazione

1. I due segmenti $\overline{AC}$ e $\overline{CB}$ sono uguali (e quindi uguali alla metà di $\overline{AB}$).

Dimostrazione

1. $\overline{AD}$ e $\overline{BD}$ sono lati del triangolo equilatero $\mathrm{△}ABD$.
2. Quindi, $\overline{AD}$ è uguale a $\overline{BD}$.
3. Il segmento $\overline{DC}$ è uguale a se stesso.
4. A causa della stessa costruzione, gli angoli $\mathrm{\angle }ADE$ e $\mathrm{\angle }EDB$ sono uguali.
5. I segmenti $\overline{DE}$ e $\overline{DC}$ si sovrappongono.
6. Quindi, $\mathrm{\angle }ADE$ è uguale a $\mathrm{\angle }ADC$ e $\mathrm{\angle }EDB$ è uguale a $\mathrm{\angle }CDB$.
7. Grazie al criterio di congruenza lato-angolo-lato I triangoli $\mathrm{△}ADC$ e $\mathrm{△}CDB$ sono congruenti.
8. Quindi, $\overline{AC}$ e $\overline{CB}$ sono uguali.
9. Siccome $\overline{AB}$ è la somma di $\overline{AC}$ e $\overline{CB}$, ciascuno dei due è uguale alla sua metà di $\overline{AB}$.